我們的學(xué)生時(shí)代里總是會(huì)出現(xiàn)一些自己非常不理解的題目，zui 常見的就是初中數(shù)學(xué)中喜歡一邊加水一邊放水還速率不一的水池管理員。但長(zhǎng)大后在工作中發(fā)現(xiàn)在生物行業(yè)生產(chǎn)上這是屬于再正常不過的工藝了。

圖：來源于【路老師的數(shù)學(xué)日記】

這種數(shù)學(xué)模型常見于生物反應(yīng)器上。細(xì)胞是生物行業(yè)內(nèi)zui常見的個(gè)體，想大規(guī)模把細(xì)胞以理想狀態(tài)培育，營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)濃度、溫度或氧氣含量等參數(shù)都需要精準(zhǔn)調(diào)節(jié)。

這個(gè)時(shí)候我們就需搭建數(shù)學(xué)模型來配置DO電極實(shí)時(shí)監(jiān)控并反饋至控制系統(tǒng)，通過PID來調(diào)節(jié)進(jìn)氣量等參數(shù)來保證DO數(shù)值的穩(wěn)定。那PID控制具體指的是什么，我們又該如何去調(diào)節(jié)呢?

讓我們先看一下PID控制算法的基本原理：比例（proportional）、積分（integral）、微分（derivative）。這是一種常見的“保持穩(wěn)定”控制算法.

其中：

Kp：比例增益，是調(diào)適參數(shù)；

Ki：積分增益，也是調(diào)適參數(shù)；

Kd：微分增益，也是調(diào)適參數(shù)；

e：誤差=設(shè)定值（SV）- 當(dāng)前值（PV）；

t：目前時(shí)間。

Kp比例控制考慮當(dāng)前誤差，誤差值和一個(gè)正值的常數(shù)Kp（表示比例）相乘。一般來說需要控制的量，比如水溫，有它現(xiàn)在的當(dāng)前值，也有我們期望的設(shè)定值。比例控制器實(shí)際上就是個(gè)放大倍數(shù)可調(diào)的放大器，即△P=Kp×e，式中Kp為比例增益，即Kp可大于1，也可小于1。e為控制器的輸入，也就是當(dāng)前值與設(shè)定值之差，又稱為偏差。

比如在給水加熱的時(shí)候，當(dāng)當(dāng)前值和設(shè)定值兩者差距不大時(shí)，就讓加熱器“輕輕”加熱一下。要是因?yàn)槟承┰?，溫度降低了很多，偏差變大，就讓加熱?/span>“稍稍用力”加熱一下。要是當(dāng)前溫度比目標(biāo)溫度低得多，偏差變得更大，就讓加熱器“開足馬力”加熱，盡快讓水溫到達(dá)目標(biāo)附近。

Kp越大，調(diào)節(jié)作用越激進(jìn)，系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)加快，Kp調(diào)小會(huì)讓調(diào)節(jié)作用更保守。

控制器的積分作用就是為了消除自控系統(tǒng)的余差而設(shè)置的。比如在給水加熱時(shí)，當(dāng)水的溫度接近設(shè)定的溫度時(shí)，偏差變小，加熱器的輸出會(huì)變小，如果在某個(gè)階段，溫度還未達(dá)到設(shè)定值，然而加熱量和系統(tǒng)的散熱量相等的時(shí)候，溫度不會(huì)發(fā)生變化，偏差就不會(huì)變化，加熱器的輸出也不會(huì)變化，這樣溫度就不會(huì)達(dá)到設(shè)定溫度，為了消除這種情況，引入積分控制。

所謂積分，就是隨時(shí)間進(jìn)行累積的意思，即當(dāng)有偏差輸入e存在時(shí)，積分控制器就要將偏差隨時(shí)間不斷累積起來，也就是積分累積的快慢與偏差e的大小和積分速度成正比。只要有偏差e存在，積分控制器的輸出就要改變，也就是說積分總是起作用的，只有偏差不存在時(shí)，積分才會(huì)停止。

對(duì)于恒定的偏差，調(diào)整積分作用的實(shí)質(zhì)就是改變控制器輸出的變化速率，這個(gè)速率是通過積分作用的輸出等于比例作用的輸出所需的一段時(shí)間來衡量的。積分時(shí)間小，表示積分速度大，積分作用就強(qiáng)；反之，積分時(shí)間大，則積分作用就弱。如果積分時(shí)間無窮大，表示沒有積分作用，控制器就成為純比例控制器。

實(shí)際上積分作用很少單獨(dú)使用，通常與比例作用一起使用，使其既具有把偏差放大(或縮小)的比例作用，又具有將偏差隨時(shí)間累積的積分作用，且其作用方向是一致的。

這時(shí)控制器的輸出為：△P=Ke+△Pi，式中△P為控制器輸出值的變化。Ke為比例作用引起的輸出，△Pi為積分作用引起的輸出。

微分控制主要是用來克服被控對(duì)象的滯后，是通過誤差的變化率預(yù)報(bào)誤差信號(hào)的未來變化趨勢(shì)。通過提供超前控制作用，微分控制能使被控過程趨于穩(wěn)定。因此，它經(jīng)常用來抵消積分控制產(chǎn)生的不穩(wěn)定趨勢(shì)。

不論比例調(diào)節(jié)作用，還是積分調(diào)節(jié)作用都是建立在產(chǎn)生誤差后才進(jìn)行調(diào)節(jié)以消除誤差，都是事后調(diào)節(jié)，因此這種調(diào)節(jié)對(duì)穩(wěn)態(tài)來說是無差的，對(duì)動(dòng)態(tài)來說肯定是有差的，因?yàn)閷?duì)于負(fù)載變化或給定值變化所產(chǎn)生的擾動(dòng)，必須等待產(chǎn)生誤差以后，然后再來慢慢調(diào)節(jié)予以消除。

但一般的控制系統(tǒng)，不僅對(duì)穩(wěn)定控制有要求，而且對(duì)動(dòng)態(tài)指標(biāo)也有要求。通常都要求負(fù)載變化或給定調(diào)整等引起擾動(dòng)后，恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的速度要快。因此光有比例和積分調(diào)節(jié)作用還不能*要求，必須引入微分作用。

比例作用和積分作用是發(fā)生誤差后才進(jìn)行調(diào)節(jié)，而微分作用則是事前預(yù)防控制，即一發(fā)現(xiàn)反饋值有變大或變小的趨勢(shì)，馬上就輸出一個(gè)阻止其變化的控制信號(hào)，以防止出現(xiàn)過沖或超調(diào)等。

D越大，微分作用越強(qiáng)，D越小，微分作用越弱。系統(tǒng)調(diào)試時(shí)通常把D從小往大調(diào)，具體參數(shù)由試驗(yàn)決定。

PID控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。它是根據(jù)被控過程的特性確定PID控制器的比例系數(shù)、積分時(shí)間和微分時(shí)間的大小。

PID控制器參數(shù)整定的方法很多，概括起來有兩大類：

利用此方法進(jìn)行 PID控制器參數(shù)的整定步驟如下：

　　(1)首先預(yù)選擇一個(gè)足夠短的采樣周期讓系統(tǒng)工作；

　　(2)僅加入比例控制環(huán)節(jié)，將比例度逐漸減小，直到系統(tǒng)對(duì)輸入的階躍響應(yīng)出現(xiàn)臨界振蕩（等幅振蕩），記下這時(shí)的臨界比例度和臨界振蕩周期；

　　(3)在一定的控制度下通過公式計(jì)算得到PID控制器的參數(shù)。

① 在輸出不振蕩時(shí)，增大比例增益P；

② 在輸出不振蕩時(shí)，減小積分時(shí)間常數(shù)Ti；

③ 在輸出不振蕩時(shí)，增大微分時(shí)間常數(shù)Td。

① 確定比例增益P

　 確定比例增益P時(shí)，首先去掉PID的積分項(xiàng)和微分項(xiàng)，一般是令Ti=0、Td=0（具體見PID的參數(shù)設(shè)定說明），使PID為純比例調(diào)節(jié)。輸入設(shè)定為系統(tǒng)允許的最大值的60%~70%，由0逐漸加大比例增益P，直至系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩；再反過來，從此時(shí)的比例增益P逐漸減小，直至系統(tǒng)振蕩消失，記錄此時(shí)的比例增益P，設(shè)定PID的比例增益P為當(dāng)前值的60%~70%。比例增益P調(diào)試完成。

② 確定積分時(shí)間常數(shù)Ti

　 比例增益P確定后，設(shè)定一個(gè)較大的積分時(shí)間常數(shù)Ti的初值，然后逐漸減小Ti，直至系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。之后在反過來，逐漸加大Ti，直至系統(tǒng)振蕩消失。記錄此時(shí)的Ti，設(shè)定PID的積分時(shí)間常數(shù)Ti為當(dāng)前值的150%~180%。積分時(shí)間常數(shù)Ti調(diào)試完成。

③ 確定微分時(shí)間常數(shù)Td

　 微分時(shí)間常數(shù)Td一般不用設(shè)定，為0即可。若要設(shè)定，與確定 P和Ti的方法相同，取不振蕩時(shí)的30%。

④ 系統(tǒng)空載、帶載聯(lián)調(diào)，再對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行微調(diào)，直至滿足要求。

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